Q. 앤드류 와일즈의 페르마의 마지막 정리가 뭔가요?

수학 역사상 가장 유명한 난제라고 하던데, 도대체 뭐길래 358년이나 걸린 건지 궁금합니다. 증명 과정도 드라마틱하다는데 쉽게 설명해주실 분 계신가요?

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xn + yn = zn n ≥ 3 일 때, 정수해가 존재하지 않는다 "나는 경이로운 증명을 발견했으나, 여백이 좁아 여기에 적지 못한다." — Pierre de Fermat, 1637

A. 수학 역사상 가장 드라마틱한 이야기, 정리해드릴게요!

📌 페르마의 마지막 정리란?

📖 페르마가 여백에 메모를 남긴 디오판토스의 《산술》 (Wikimedia Commons)

1637년, 프랑스 수학자 피에르 드 페르마가 디오판토스의 《산술》이라는 책 여백에 이런 메모를 남겼어요.

xⁿ + yⁿ = zⁿ
n이 3 이상의 자연수일 때, 이 식을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다.

n=2일 때는 우리가 잘 아는 피타고라스 정리(3² + 4² = 5²)처럼 해가 무한히 존재하지만, n이 3 이상이면 단 하나의 해도 없다는 거예요.

그리고 페르마는 이 유명한 문장을 남겼죠.

"나는 경이로운 증명을 발견했으나, 여백이 좁아 여기에 적지 못한다."

이 한 줄 때문에 이후 358년간 수많은 수학자들이 도전하게 됩니다. 😂

⏳ 358년간 아무도 못 풀었던 이유

문제 자체는 중학생도 이해할 수 있을 만큼 단순해요. 하지만 증명은 완전히 다른 차원의 문제였습니다.

• 오일러 — n=3인 경우만 증명 성공
• 디리클레, 르장드르 — n=5인 경우 증명
• 라메 — n=7인 경우 증명
• 쿠머 — 특정 소수에 대해 증명 (이상적 수 이론 개발)
• 컴퓨터 — n이 400만 이하인 경우까지 확인

하지만 "모든 n에 대해" 증명하는 것은 아무도 해내지 못했어요. 개별 숫자를 하나씩 확인하는 건 무한히 많은 경우를 다룰 수 없으니까요.

🧑‍🔬 앤드류 와일즈, 그는 누구?

• 1953년 영국 케임브리지 출생
• 10살 — 도서관에서 페르마의 마지막 정리를 처음 접하고 평생의 목표로 삼음
• 옥스퍼드 → 케임브리지 박사 → 프린스턴 대학 교수
• 전공: 정수론, 타원곡선

🔑 결정적 실마리: 타니야마-시무라 추측

1986년, 수학계에 중대한 발견이 있었어요.

1. 게르하르트 프라이가 제안: "만약 페르마의 정리가 틀리다면(반례가 존재한다면), 그 반례로 만든 타원곡선은 타니야마-시무라 추측에 모순된다"
2. 켄 리벳이 이를 엄밀히 증명

즉, 타니야마-시무라 추측(모든 타원곡선은 모듈러 형식과 연관된다)을 증명하면 → 페르마의 마지막 정리가 자동으로 따라온다는 것!

와일즈는 이 소식을 듣고 "내 인생이 바뀌었다"고 회고했어요.

🤫 7년간의 비밀 연구

와일즈는 이때부터 7년간 완전히 비밀리에 혼자 연구했어요.

• 가족 외에는 아무도 몰랐음
• 동료들에게도 알리지 않음
• 다른 논문은 기존 연구 재고를 조금씩 발표하며 위장
• 다락방 서재에서 매일 몇 시간씩 연구

이와사와 이론, 콜리바긴-플라흐 방법, 갈루아 표현론 등 현대 정수론의 최첨단 도구들을 총동원했습니다.

🎉 1993년 6월 — 역사적 발표

케임브리지 뉴턴 연구소에서 3일간 강연을 진행했어요. 강연 제목은 의도적으로 모호하게 지었지만, 소문이 퍼지면서 마지막 날에는 강당이 꽉 찼습니다.

마지막 슬라이드에서 와일즈는 이렇게 말했어요.

"이것으로 페르마의 마지막 정리를 증명합니다."

청중의 기립박수, 전 세계 언론 대서특필. 수학자가 뉴스 1면에 나오는 전무후무한 사건이었죠.

💔 치명적 오류 발견 — 좌절의 1년

하지만 동료 심사 과정에서 치명적 결함이 발견됐어요. 콜리바긴-플라흐 방법을 적용한 핵심 부분에 논리적 오류가 있었던 겁니다.

• 와일즈는 1년 넘게 이 문제와 씨름
• 거의 포기 직전까지 감
• 학계에서는 "역시 불가능한 건가" 하는 분위기

✨ 1994년 9월 — 기적의 순간

1994년 9월 19일, 와일즈는 과거에 자신이 버렸던 이와사와 이론 접근법을 다시 살펴보다가 깨달음을 얻었어요.

"갑자기 모든 것이 맞아떨어졌다. 너무나 아름다워서 20분 동안 멍하니 바라보았다. 그리고 수학과를 돌아다니며 아내에게 전화를 걸었다. 내 인생에서 가장 중요한 순간이었다."
— 앤드류 와일즈

이전 제자 리처드 테일러와 함께 최종 증명을 완성했습니다.

📄 최종 결과

• 1995년 — 《Annals of Mathematics》에 최종 논문 발표
• 논문 분량: 약 130페이지
• 논문 2편: 와일즈 단독 논문 + 테일러 공저 보충 논문

🏆 수상 내역

• 1996년 — 울프상 (수학 분야 최고 권위 중 하나)
• 1998년 — IMU 특별 공로상 은판 (필즈상은 40세 이하 제한으로 정규 수상 불가)
• 2000년 — 기사 작위 (Sir Andrew Wiles)
• 2016년 — 아벨상 수상 (수학의 노벨상)

🤔 그래서 페르마의 원래 증명은?

와일즈가 사용한 도구들(타원곡선, 모듈러 형식, 갈루아 표현론 등)은 전부 20세기에야 탄생한 것들이에요. 1637년의 페르마가 이런 도구를 알았을 리가 없죠.

대부분의 수학자들은 페르마가 착각했거나 불완전한 증명을 가지고 있었을 것으로 봅니다. 결국 그 "여백에 적지 못한 증명"은 영원한 미스터리로 남게 되었어요.

📊 한눈에 보는 타임라인

연도	사건
1637	페르마, 책 여백에 문제와 메모 남김
1770	오일러, n=3 증명
1825	디리클레·르장드르, n=5 증명
1839	라메, n=7 증명
1955	타니야마-시무라 추측 제기
1986	프라이-리벳, 추측과 페르마 정리의 연결고리 증명
1986~1993	와일즈, 7년간 비밀 연구
1993.06	케임브리지에서 증명 발표 → 오류 발견
1994.09	결함 수정, 최종 증명 완성
1995	논문 정식 출판
2016	아벨상 수상

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문제는 중학생도 이해할 수 있을 만큼 단순하지만, 증명은 인류 최고의 수학자가 7년을 바쳐야 했던 난제. 이게 수학의 매력이자 무서움이 아닐까요? 😄