[수학] 펜로즈 타일링 — 2개의 도형으로 만든 영원히 반복되지 않는 패턴
Q. 펜로즈 타일링이 뭔가요? 왜 특별한 건가요?
펜로즈 삼각형을 만든 그 펜로즈가 타일링도 발견했다고 하던데, 단 2개의 도형으로 영원히 반복되지 않는 패턴을 만들 수 있다는 게 사실인가요?
A. 단순한 규칙에서 무한한 복잡성이 탄생하는 놀라운 구조입니다!
📐 펜로즈 타일링이란?
💎 펜로즈 타일링 (마름모 버전) — 영원히 반복되지 않는 패턴 (Wikimedia Commons, CC BY-SA)
펜로즈 타일링(Penrose Tiling)은 1974년 로저 펜로즈가 발견한 비주기적 타일링입니다. 핵심은 이거예요:
단 2종류의 도형만으로 평면을 빈틈없이, 겹침 없이 완벽하게 덮을 수 있는데,
그 패턴이 절대 반복되지 않는다!
🔲 주기적 vs 비주기적 타일링
보통 타일링을 생각하면 화장실 바닥 같은 걸 떠올리죠.
| 구분 | 주기적 타일링 | 펜로즈 타일링 |
|---|---|---|
| 예시 | 정사각형, 정육각형 바닥 | 연(kite) + 다트(dart) |
| 패턴 반복 | ✅ 일정 거리마다 반복 | ❌ 절대 반복 안 됨 |
| 이동 겹침 | ✅ 밀면 원래와 겹침 | ❌ 아무리 밀어도 안 겹침 |
| 질서 | 규칙적 | 규칙적이면서 비주기적 (모순적!) |
어디를 봐도 익숙한 느낌이 드는데, 전체로는 절대 같은 구간이 없어요. 규칙적이면서 비주기적이라는 모순적 성질이 공존합니다.
🔷 펜로즈가 사용한 도형들
가장 유명한 버전 두 가지:
- 🪁 연(Kite)과 다트(Dart) — 이등변 사각형 두 종류
- 💎 두 종류의 마름모 — 얇은 마름모 + 두꺼운 마름모
공통점: 모든 각도가 36도의 배수(36°, 72°, 108°, 144°)이고, 변의 비율이 황금비(φ = 1.618...)로 되어 있어요.
그래서 타일링에 5회 대칭(pentagonal symmetry)이 나타납니다. 정오각형의 대칭성이죠.
⚙️ 매칭 룰 — 비주기성의 비밀
도형 변에 화살표 같은 "매칭 룰(matching rule)"을 표시해서, 인접한 타일끼리 화살표가 맞아야만 붙일 수 있게 합니다.
- 이 규칙 없이 그냥 붙이면 → 주기적 패턴도 만들 수 있음
- 매칭 룰이 → 비주기성을 강제하는 장치!
✨ 황금비와 피보나치의 숨바꼭질
펜로즈 타일링에는 황금비가 곳곳에 숨어 있어요.
- 얇은 마름모 : 두꺼운 마름모의 개수 비율 = φ (황금비)
- 디플레이션(deflation) — 타일링을 축소하면 더 작은 펜로즈 타일링이 나옴 (자기유사적 구조)
- 각 레벨의 타일 개수가 피보나치 수열을 따름
💎 현실이 된 수학: 준결정의 발견 (1984)
펜로즈 타일링이 세상을 뒤흔든 순간은 1984년에 찾아왔어요.
이스라엘의 재료과학자 댄 셰흐트만이 알루미늄-망간 합금에서 결정학 상식으로는 불가능한 구조를 발견했습니다.
X선 회절 패턴에서 5회 대칭이 나타남!
결정학 기본 법칙: 결정은 2, 3, 4, 6회 대칭만 가능. 5회는 불가능!
🔥 학계의 반응
- 라이너스 폴링 (노벨상 2회 수상자): "준결정은 없다. 준과학자가 있을 뿐" 이라고 공개 비난
- 셰흐트만은 연구 그룹에서 쫓겨나기까지 함
하지만 이 구조가 바로 펜로즈 타일링의 3차원 버전이었어요! 원자들이 주기적으로 반복되지 않지만 장거리 질서를 가진 "준결정(quasicrystal)"이었던 겁니다.
- 🏆 2011년 — 셰흐트만, 노벨 화학상 단독 수상
- 결정학의 정의 자체가 바뀌게 됨
⏳ 비주기적 타일링 도형 개수의 역사
| 연도 | 발견자 | 도형 개수 |
|---|---|---|
| 1966 | 로버트 버거 | 20,426개 |
| 1971 | 라파엘 로빈슨 | 6개 |
| 1974 | 로저 펜로즈 | 2개 |
| 2023 | 데이비드 스미스 외 | 1개! (아인슈타인 타일) |
🏛️ 현실 세계의 펜로즈 타일링
- 🇬🇧 런던 수학연구소 바닥 — 펜로즈 타일링으로 시공
- 🕌 이슬람 건축의 기리흐 패턴 — 중세 이슬람 건축에서 유사한 비주기적 구조가 이미 사용됨 (수백 년 앞서!)
- 🔬 나노기술, 재료과학 — 비주기적 구조의 특이한 물리적 성질 연구 중
화장실 바닥 타일에서 시작된 질문이 결정학을 혁명적으로 바꾸고, 노벨상까지 이어졌어요. 단순한 도형 2개가 만들어낸 "무한히 규칙적이면서 절대 반복되지 않는 세계", 그것이 펜로즈 타일링입니다. 💎✨