[수학] 아인슈타인 타일 — 50년 난제를 종이와 가위로 풀어버린 아마추어
Q. 아인슈타인 타일이 뭔가요? 아마추어가 수학 난제를 풀었다는 게 사실인가요?
펜로즈 타일링은 2개 도형이 필요했는데, 단 1개만으로도 비주기적 타일링이 가능하다고요? 그걸 수학자가 아닌 일반인이 발견했다는데 진짜인가요?
A. 2023년 수학계 최대 뉴스! 50년 난제가 종이접기에서 풀렸습니다!
📌 아인슈타인 타일이란?
🎩 Hat(모자) — 단 하나의 도형으로 비주기적 타일링을 만드는 아인슈타인 타일 (Wikimedia Commons, CC BY-SA)
아인슈타인 타일(Einstein Tile)이란 단 하나의 도형만으로 평면을 빈틈없이 채울 수 있되, 그 패턴이 절대 반복되지 않는 도형을 말해요.
"아인슈타인" = 독일어 "ein Stein" = "하나의 돌"
물리학자 알버트 아인슈타인과는 무관! 😄
수학 용어로는 "비주기적 단일 타일(aperiodic monotile)"
⏳ 도형 개수를 줄여온 50년의 역사
비주기적 타일링의 역사는 도형 개수를 줄여온 역사예요.
| 연도 | 발견자 | 필요 도형 수 | 비고 |
|---|---|---|---|
| 1966 | 로버트 버거 | 20,426개 | 최초 증명 |
| 1971 | 라파엘 로빈슨 | 6개 | |
| 1974 | 로저 펜로즈 | 2개 | 연 + 다트 |
| 2023.03 | 데이비드 스미스 외 | 1개 | hat (모자) 🎩 |
| 2023.05 | 같은 팀 | 1개 | spectre (유령) 👻 |
🧑🔧 발견자: 데이비드 스미스
- 🇬🇧 영국 요크셔 거주
- 직업: 은퇴한 인쇄 기술자
- 수학 학위 없음, 논문 경력 없음
- 취미: 종이를 오리고 붙이며 도형 패턴 탐구
2022년 11월, 스미스는 종이를 오리고 붙이는 취미 활동 중에 이상한 도형을 발견했어요. 13개의 변을 가진, 모자처럼 생긴 도형이었는데, 아무리 붙여봐도 주기적 패턴이 만들어지지 않았습니다.
직감적으로 뭔가 특별하다고 느낀 스미스는 워털루 대학의 수학자 크레이그 카플란에게 연락했어요.
🎩 첫 번째 발견: Hat (모자)
카플란이 컴퓨터로 분석해보니 정말로 비주기적! 이후 소프트웨어 개발자 조셉 마이어스와 수학자 채임 굿맨-스트라우스가 합류해서, 2023년 3월 논문을 공개했어요.
Hat의 구조:
- 정삼각형 격자 위에서 연(kite) 도형 8개를 붙여 만든 13각형
- 볼록하지도 않고 특별히 복잡하지도 않은, 꽤 평범해 보이는 도형
- 하지만 수학적 성질은 전혀 평범하지 않았음!
⚠️ 논란: 거울상 문제
Hat에는 논란 지점이 하나 있었어요.
- 타일링을 완성하려면 hat의 거울상(mirror image)이 필요
- 원래 도형 + 뒤집은 도형을 함께 사용해야 함
- 일부 수학자: "거울상을 별개의 도형으로 봐야 하니까 진정한 단일 타일이 아니다"
👻 두 번째 발견: Spectre (유령) — 완벽한 해결
놀랍게도 같은 팀이 불과 2개월 뒤인 2023년 5월에 이 문제까지 해결했습니다!
"스펙터(Spectre)" — hat의 변을 직선에서 곡선으로 바꾼 변형
거울상 없이 원래 도형만으로 비주기적 타일링 가능! ✅
뒤집기 없이 오직 밀기(translation)와 회전만으로 평면을 완벽히 채우면서 절대 반복되지 않는, 진정한 아인슈타인 타일이 된 거예요.
🧮 증명은 어떻게?
"이 도형으로 만든 모든 타일링은 비주기적이다"를 어떻게 증명했을까요?
팀이 사용한 핵심 전략은 계층적 구조를 보인 거예요.
- 작은 hat들이 모여 → 더 큰 "슈퍼타일" 형성
- 슈퍼타일들이 모여 → 더 큰 "슈퍼슈퍼타일" 형성
- 이 과정이 무한히 반복
- 이 자기유사적 계층 구조가 주기성을 원천적으로 불가능하게 만듦
🔬 왜 중요한가?
- 🧪 재료과학 — 펜로즈 타일링이 준결정을 예측한 것처럼, 아인슈타인 타일도 새로운 물질 구조에 응용 가능성
- ⚡ 물리적 성질 — 비주기적이면서 장거리 질서를 가진 구조는 특이한 열전도, 전자기적 특성을 가질 수 있음
- 💻 컴퓨터 과학 — 타일링 문제는 계산 이론의 결정 불가능성(undecidability)과 깊이 연결
- 🎨 디자인·건축 — 영원히 반복되지 않는 패턴의 미학적 가치
💡 이 발견이 주는 메시지
50년간 전문 수학자들이 못 풀던 문제를
종이와 가위를 든 은퇴한 아마추어가 풀었다.
데이비드 스미스는 수학 학위도 없고 논문을 쓴 적도 없는 사람이었습니다. 수학이 여전히 직관과 놀이의 영역이기도 하다는 걸 보여준 아름다운 사례예요.
📊 비주기적 타일링 발견 타임라인
| 연도 | 사건 | 의의 |
|---|---|---|
| 1961 | 왕하오, 타일링 결정 문제 제기 | 이론적 출발점 |
| 1966 | 버거, 20,426개 세트 | 비주기적 타일링 존재 최초 증명 |
| 1974 | 펜로즈, 2개 세트 | 황금비 기반 우아한 구조 |
| 1984 | 셰흐트만, 준결정 발견 | 수학이 현실이 됨 |
| 2011 | 셰흐트만 노벨 화학상 | 결정학 정의 변경 |
| 2023.03 | Hat 발견 | 1개 도형 달성 (거울상 필요) |
| 2023.05 | Spectre 발견 | 진정한 아인슈타인 타일 완성 |
20,426개에서 시작해 1개까지. 50년의 여정 끝에 답을 찾은 건 대학도 연구실도 아닌, 요크셔의 부엌 테이블이었습니다. 수학은 누구에게나 열려 있다는 것, 그게 아인슈타인 타일이 전하는 가장 큰 메시지가 아닐까요? 🧩✨